Claude AI 撰写迄今为止最长的数学证明，证明了费马大定理

Anthropic 的 Claude AI 在 11 天内完成了首个完全经计算机验证的费马大定理证明，编写了 1300 万行代码，构成了有史以来规模最大的数学证明。该 AI 系统完成了一项形式化项目，而伦敦帝国理工学院的一支人类团队自 2024 年起一直在进行同一项目，但尚未完成。领导该人类项目的数学家 Kevin Buzzard 审查了 Claude 的证明，并确认该证明仅凭数学基本公理即可成立，从而验证了一个自 Pierre de Fermat 于 1637 年首次提出后，历经 358 年仍未解决的问题。

Claude AI 在 11 天内完成 1300 万行证明

据 Anthropic 称，Claude 生成了 1300 万行可由计算机逐行检查的代码。该证明的规模超过 Mathlib 的 5 倍；Mathlib 是数学家用于形式化工作的共享库。在哥伦比亚大学构建 AI 形式化工具的 Tianyi Peng 领导下，数十个 Claude 代理并行工作，编写定义、证明较小的结果，并在几乎没有人工输入、仅偶尔接受指导的情况下，将这些结果层层组合成更大的证明。

这些代理起初在协调方面遇到困难，跟丢已经证明的定理并重复工作。这些失败尝试约占最终证明行数的 7%。团队使用 Prove2Me 解决了这些问题：该工具为所有代理提供同步的剩余证明待办列表，整理文件以便在 Lean 中更快地验证，并维护纯英语笔记，使代理能够复用彼此的工作。最终证明包含超过 30,000 个辅助定理，并使用了数十亿个令牌；Anthropic 将其所采用的研究模型描述为大致相当于 Claude Fable 5.1。

费马大定理：从 1637 年的页边批注到 1995 年的证明

费马大定理指出，当 n 大于 2 时，不存在三个正整数能够满足方程 x^n + y^n = z^n。Pierre de Fermat 于 1637 年将这一断言写在一本数学书的页边，并补充说自己有一个“真正绝妙的证明”，但页边空间不够。数学家们花了 358 年试图重建一个有效证明。1908 年，德国设立了一项按当前价值计算约为 100 万至 200 万美元的奖金，仅第一年就收到 621 份错误提交。

英国数学家 Andrew Wiles 于 1993 年 6 月通过三场讲座宣布自己完成了一项证明，但审阅者发现其中存在错误。Wiles 与他的前学生 Richard Taylor 花了近一年修正证明，并于 1995 年 5 月发表了修正后的 129 页版本。该证明依赖于费马在世时尚不存在的数学概念，这使数学家们怀疑费马声称自己拥有有效证明的原话。

使用 Lean 和 Prove2Me 工具的技术实现

该形式化项目将 Wiles 于 1995 年提出的证明翻译成 Lean；Lean 是一种可由计算机验证的语言。Kevin Buzzard 在伦敦帝国理工学院领导的人类项目于 2024 年开始了同样的工作，资金已落实至 2029 年。仅该项目的大纲就有 86 页，并需要多名志愿数学家。

Claude 的实现使用 Prove2Me 来协调并行代理工作流。该工具创建共享任务列表以防止重复，整理文件结构以便高效进行 Lean 验证，并用纯英语记录每项结果，供不同代理相互参考。该系统处理了相当于 160 部小说的逻辑论证；一部典型小说约有 80,000 个单词，而 Claude 的证明输出则与之相当。

Kevin Buzzard 根据数学公理验证证明

Buzzard 审查了 Claude 完成的证明，并确认该证明“除数学公理外不依赖任何假设”即可证明该定理。完整的 1300 万行证明已发布在 GitHub 上，任何数学家都可以独立验证。这代表的是对 Wiles 1995 年证明的机器可检查凭据，而不是一项新的数学发现。

Anthropic 使用了一个大致相当于 Claude Fable 5.1 的研究模型，该版本后来向公众发布。这项形式化工作应对了数学领域日益严重的挑战：未经验证的证明（包括 AI 编写的证明）积累的速度快于人类手动检查的速度。此前的重大证明也面临类似的验证挑战：开普勒猜想的计算机辅助证明耗时 4 年，评审小组最终也只能承诺“99% 确定”；Grigori Perelman 对庞加莱猜想的证明也花费了大约同样的时间才被完全接受。

常见问题

Claude AI 在费马大定理方面完成了什么？

Claude AI 在 11 天内完成了首个完全经计算机验证的费马大定理证明，并使用 Lean 编程语言编写了 1300 万行代码。伦敦帝国理工学院数学家 Kevin Buzzard 审查并验证了该证明，确认其仅凭基本数学公理即可成立。该证明将 Andrew Wiles 于 1995 年提出的解答形式化，转换成了计算机可以逐行验证的格式。

Claude 的证明与伦敦帝国理工学院的人类项目相比如何？

Kevin Buzzard 于 2024 年在伦敦帝国理工学院启动了一项由人类领导的项目，旨在将 Wiles 的证明形式化为 Lean。该项目的资金已落实至 2029 年，项目大纲长达 86 页，并需要多名志愿数学家。Claude 在 11 天内完成了同样的形式化任务，早于人类项目完成。最终证明长达 1300 万行，规模超过 Mathlib 的 5 倍；Mathlib 是用于此类工作的标准数学库。

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